裂紋齒輪的模態分析及診斷

　　利用振動信號直接進行模態參數識別的常用方法有Ibrahim時域法、ITD法、最小二乘復指數法、多參考點復指數法、特征系統實現法和ARMA時序分析法。本文采用ARMA時序分析法對齒輪箱振動信號進分析，進而提取系統的模態參數。在以往進行頻域譜分時，常由于信號截斷而引起泄露，出現旁瓣、分辨率低及信號被淹沒等缺陷，而時間序列分析則與頻域譜分析不同，由于時序譜是動態譜，觀測數據能外延，因此不會由于觀測數據的樣本長度有限而產生上述缺陷。

　　3.3ARMA時序分析法原理

　　時間序列分析首先由觀測數據擬合一個時序模型，然后對該模型進行分析研究，從而得出觀測數據的統計特性。由于實測時間序列反映了系統工作的動態過程，因此蘊含著系統的固有特性。建立時序參數模型的目的，就是把系統本身固有的特性很好地表達出來。

　　N個自由度的線性系統激勵與響應之間的關系可用高階微分方程描述，在離散時間域內，該微分方程變成由一系列不同時刻的時間序列表示的差分方程，即ARMA時序模型方程：

　　式（1）表示響應數據序列X_t與歷史值X_t-k，的關系，其中等式左邊為自回歸（AR）模型，右邊為滑動均值（MA）模型，2N為自回歸和滑動均值模型的階次，ak、bk分別表示待識別的自回歸系數和滑動均值系數，f_t-k為白噪聲激勵。

　　運用ARMA時序法識別模態參數首先要估算系數ak和bk的值，本文利用Prony方法對時間序列響應進行擬合獲得ARMA模型的參數（可以通過調用MATLAB中的prony函數實現）。當求得自回歸系數ak和滑動均值系數bk后，通過ARMA模型傳遞函數的表達式計算系統的模態參數，ARMA模型的傳遞函數為：

　　用代數方程求解法計算分母多項式方程的根：

　　求解得到的根為傳遞函數的極點，他們與系統的模態頻率ω_k和阻尼比的關系為：

　　3.4模態參數提取結果

　　本文首先用有限元法計算了試驗齒輪的前10階固有頻率，并將其作為確定實際信號帶通濾波上下限的依據，然后用ARMA時序分析法對濾波后的信號進行處理，提取了不同裂紋深度的齒輪的前5階固有頻率值見表2。

表2     試驗提取的固有頻率值            Hz

　　從表2的模態參數識別結果來看，隨著裂紋深度的增加，提取到的固有頻率值也會有所降低，因此將固有頻率作為齒輪裂紋故障的診斷參數是可行的。

　　4結語

　　本文提出的方法避免了傳統方法診斷所帶來的不便之處，并且可以有效地診斷齒輪的齒根裂紋故障診斷中。對于其它類型的故障（如點蝕、磨損等）的診斷，本文也可以為其提供一個很好的參考思路和診斷方法。